Here are the first 200 Fibonacci numbers – and the list below shows whether they are Prime (True) or not (False). Courtesy of Mathematica.
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, \
2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, \
317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, \
14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, \
267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, \
4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074, 32951280099, \
53316291173, 86267571272, 139583862445, 225851433717, 365435296162, \
591286729879, 956722026041, 1548008755920, 2504730781961, \
4052739537881, 6557470319842, 10610209857723, 17167680177565, \
27777890035288, 44945570212853, 72723460248141, 117669030460994, \
190392490709135, 308061521170129, 498454011879264, 806515533049393, \
1304969544928657, 2111485077978050, 3416454622906707, \
5527939700884757, 8944394323791464, 14472334024676221, \
23416728348467685, 37889062373143906, 61305790721611591, \
99194853094755497, 160500643816367088, 259695496911122585, \
420196140727489673, 679891637638612258, 1100087778366101931, \
1779979416004714189, 2880067194370816120, 4660046610375530309, \
7540113804746346429, 12200160415121876738, 19740274219868223167, \
31940434634990099905, 51680708854858323072, 83621143489848422977, \
135301852344706746049, 218922995834555169026, 354224848179261915075, \
573147844013817084101, 927372692193078999176, 1500520536206896083277, \
2427893228399975082453, 3928413764606871165730, \
6356306993006846248183, 10284720757613717413913, \
16641027750620563662096, 26925748508234281076009, \
43566776258854844738105, 70492524767089125814114, \
114059301025943970552219, 184551825793033096366333, \
298611126818977066918552, 483162952612010163284885, \
781774079430987230203437, 1264937032042997393488322, \
2046711111473984623691759, 3311648143516982017180081, \
5358359254990966640871840, 8670007398507948658051921, \
14028366653498915298923761, 22698374052006863956975682, \
36726740705505779255899443, 59425114757512643212875125, \
96151855463018422468774568, 155576970220531065681649693, \
251728825683549488150424261, 407305795904080553832073954, \
659034621587630041982498215, 1066340417491710595814572169, \
1725375039079340637797070384, 2791715456571051233611642553, \
4517090495650391871408712937, 7308805952221443105020355490, \
11825896447871834976429068427, 19134702400093278081449423917, \
30960598847965113057878492344, 50095301248058391139327916261, \
81055900096023504197206408605, 131151201344081895336534324866, \
212207101440105399533740733471, 343358302784187294870275058337, \
555565404224292694404015791808, 898923707008479989274290850145, \
1454489111232772683678306641953, 2353412818241252672952597492098, \
3807901929474025356630904134051, 6161314747715278029583501626149, \
9969216677189303386214405760200, 16130531424904581415797907386349, \
26099748102093884802012313146549, 42230279526998466217810220532898, \
68330027629092351019822533679447, 110560307156090817237632754212345, \
178890334785183168257455287891792, 289450641941273985495088042104137, \
468340976726457153752543329995929, 757791618667731139247631372100066, \
1226132595394188293000174702095995, \
1983924214061919432247806074196061, \
3210056809456107725247980776292056, \
5193981023518027157495786850488117, \
8404037832974134882743767626780173, \
13598018856492162040239554477268290, \
22002056689466296922983322104048463, \
35600075545958458963222876581316753, \
57602132235424755886206198685365216, \
93202207781383214849429075266681969, \
150804340016807970735635273952047185, \
244006547798191185585064349218729154, \
394810887814999156320699623170776339, \
638817435613190341905763972389505493, \
1033628323428189498226463595560281832, \
1672445759041379840132227567949787325, \
2706074082469569338358691163510069157, \
4378519841510949178490918731459856482, \
7084593923980518516849609894969925639, \
11463113765491467695340528626429782121, \
18547707689471986212190138521399707760, \
30010821454963453907530667147829489881, \
48558529144435440119720805669229197641, \
78569350599398894027251472817058687522, \
127127879743834334146972278486287885163, \
205697230343233228174223751303346572685, \
332825110087067562321196029789634457848, \
538522340430300790495419781092981030533, \
871347450517368352816615810882615488381, \
1409869790947669143312035591975596518914, \
2281217241465037496128651402858212007295, \
3691087032412706639440686994833808526209, \
5972304273877744135569338397692020533504, \
9663391306290450775010025392525829059713, \
15635695580168194910579363790217849593217, \
25299086886458645685589389182743678652930, \
40934782466626840596168752972961528246147, \
66233869353085486281758142155705206899077, \
107168651819712326877926895128666735145224, \
173402521172797813159685037284371942044301, \
280571172992510140037611932413038677189525}
{False, False, True, True, True, False, True, False, False, False, \
True, False, True, False, False, False, True, False, False, False, \
False, False, True, False, False, False, False, False, True, False, \
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, \
False, False, True, False, False, False, True, False, False, False, \
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, \
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, \
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, \
False, False, True, False, False, False, False, False, False, False, \
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, \
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, \
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, \
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, \
True, False, False, False, False, False, True, False, False, False, \
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, \
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, \
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, \
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, \
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False, \
False, False, False, False, False, False, False, False, False, False}